三分损益法

在司马迁的《史记》「律书第三」中写到︰「……九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。」

意思是取一根用来定音的竹管，长为81单位，定为「宫音」的音高。然後，我们将其长去掉三分之一，也就是将81乘上2/3，就得到54单位，定为「徵音」。将徵音的竹管长度增加原来的三分之一，即将54乘上4/3，得到72单位，定为「商音」。再去掉三分之一（三分损），72乘2/3，得48单位，为「羽音」。再增加三分之一（三分益），48乘4/3，得64单位，为「角音」。而这宫、商、角、徵、羽五种音高，就称为中国的五音。

中国音乐中用来定音律的「三分损益法」，与古希腊「毕氏学派」中的「五度相生律」的方法相同。

三分损益与十二律的相关物理

在声学中，声音的高低（如西洋音乐中的唱名Do、Re、Mi、Fa……）指的是与物体振动的频率。当我们取一简单物体用来定音高时（如竹管、丝弦），则它的频率与其长度是成反比的关系。如果物体的材质固定，长度愈长，声音愈低。

除此之外，当长度减为一半时，频率将变为原先的两倍；长度增成为原先的两倍时，频率成为原先的一半。我们将这种互为二倍数的特殊比例，定义为彼此互为「八度音」。所以「三分损」（长度变为原先的2/3）与「三分益」（长度变为原先的4/3），彼此之间正是一个「八度音」的关系（4/3 是 2/3 的两倍）。由此，我们便可以从九九八十一的长度出发，试算前述藉由「三分损益」求得的长度，所得到的十二律︰

黄锺︰81；
林锺（由黄锺三分损而来）︰81 * 2/3 = 54；
太簇（由林锺三分益而来）︰54 * 4/3 = 72；
南吕（由太簇三分损而来）︰72 * 2/3 = 48；
姑洗（由南吕三分益而来）︰48 * 4/3 = 64；
应锺（由姑洗三分损而来）︰64 * 2/3 = 42.6667；
蕤宾（由应锺三分益而来）︰42.6667 * 4/3 = 56.8889；
大吕（由蕤宾三分益而来）︰56.8889 * 4/3 = 75.8519；
夷则（由大吕三分损而来）︰75.8519 * 2/3 = 50.5679；
夹锺（由夷则三分益而来）︰50.5679 * 4/3 = 67.4239；
无射（由夹锺三分损而来）︰67.4239 * 2/3 = 44.9492；
仲吕（由无射三分益而来）︰44.9492 * 4/3 = 59.9323；
清黄锺（黄锺的高八度音，由仲吕三分损而来）︰59.9323 * 2/3 = 39.9549。

• 我们注意到最後一个「清黄锺」的长度39.9546，与直接取「黄锺」长度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，这就是「黄锺不能还原」的问题。因为在连乘十二次 2/3 或 4/3 後，最後的值不可能达到原始的 1/2。

• 另外，若在定律时不断地使用三分损益的操作，最後一定会出现除不尽的小数，使得在实际制作时容易产生误差。然而在现实上，准确度（Percision）与精确度（Accuracy）绝对有其极限，所以经过十二次的三分损益之後，已经可以构成一个（不甚完美）的音阶循环。这也是为何中西音乐理论中，都不约而同地发展出以「12音阶」为主流的原因。之後才会出现如纯律、十二平均律等不同的改进或修正方法。

从上面所计算出来的结果，我们对照《史记．律书》中的文字，便可发现当中的抄录错误。宋代沈括的《梦溪笔谈》，便记载了《律书》当中出现「七分」之类的文字，当为「十分」的误写。因此原文中的黄锺「八寸七分一」为「八寸十分一、81分」才合理。以下列出古音十二律与史记的文字记载比较，并附上与西方「参考[音名'」与「十二平均'的误差」计算。

古音十二律	史记文字	三分损益	史记数字	西方音名	十二平均律	三分损益与十二平均律偏差（%）
黄锺	八寸七分一	81	81（更正後）	C	81	-
林锺	五寸十分四	54	54	G	54.0610	0.11
太簇	七寸十分二	72	72	D	72.1628	0.23
南吕	四寸十分八	48	48	A	48.1629	0.34
姑洗	六寸十分四	64	64	E	64.2898	0.45
应锺	四寸二分三分二	42.6667	42.6667	B	42.9083	0.56
蕤宾	五寸六分三分二	56.8889	56.6667	F#	57.2757	0.68
大吕	七寸五分三分二	75.8519	75.6667	C#	76.4538	0.79
夷则	五寸三分二	50.5679	50.6667	G#	51.0268	0.90
夹锺	六寸七分三分一	67.4239	67.3333	D#	68.1126	1.01
无射	四寸四分三分二	44.9492	44.6667	A#	45.4597	1.12
仲吕	五寸九分三分二	59.9323	59.6667	F	60.6814	1.23

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《周髀算经》提及由於中国古代使用天乾地支，以六十年甲子为一个周期，而60又包含2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等公约数，所以不同时期规律出现的天象，会在60年内集中重复，这些看似奇异的现象实际上是可以用数理逻辑解释清楚的。

西方用上f = 2n/12 × 440Hz 以致能将12进制化为10进制。 因此三分损益有可以不是用10进制, 而是用12进制及能解决黄锺「八寸七分一」的误写。

音律与历法的配合

由於音律与一年中的月分恰好都定有十二个，於是在中国上古时代，人们便把十二律和十二月联系起来。依照《礼记．月令》上的记载，它们之间的对应为︰

孟春之月，律中太簇；
仲春之月，律中夹锺；
季春之月，律中姑洗；
孟夏之月，律中仲吕；
仲夏之月，律中蕤宾；
季夏之月，律中林锺；
孟秋之月，律中夷则；
仲秋之月，律中南吕；
季秋之月，律中无射；
孟冬之月，律中应锺；
仲冬之月，律中黄锺；
季冬之月，律中大吕。

所谓「律中」就是「音律的对应」，其徵验的方法则是凭「吹灰」。据说古人将十二根律管里塞入葭莩的灰，只要到了某个月份，相对应的那一只律管中的灰就会自动地飞扬出来，这便是「吹灰候气」、「夷则为七月之律」等词汇的典故。当然以今日的观点，吹灰候气并没有现实的根据。

值得注意的一点，十二律中最基本的是黄锺，而中国历法最基本的则是含有冬至的月份。《月令》中所列出的，正是以黄锺对应冬至所在的仲冬月份——子月（十一月）。

外部连结

《史记》中记载的「律数」