形式定义

设 为域， 为有限维 -代数。对任一元素 ，集合 张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系 ：
可以假设 ，此时多项式 满足 。根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为 的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等於 ，而且 可逆若且唯若其极小多项式之常数项非零，此时 可以表成 的多项式。

矩阵的极小多项式

考虑所有 矩阵构成的 -代数 ，由於 ，此时可定义一个 矩阵之极小多项式，而且其次数至多为 ；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为 ，且其根属於该矩阵的特徵值集。

极小多项式是矩阵分类理论（约当标准形、有理标准形）的关键。

极小多项式与代数扩张

设 为 的有限扩张，此时可视 为有限维 -代数。根据域的性质，极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。