问题定义

本难题的完整题目为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。 若将条件放宽，例如允许使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲线使用，可以将一给定角分为三等分。

简述不可能性之证明

现在已经证明，这个问题是没有办法在给定的条件之下完成的。其理论依据出自於十九世纪发展出来的体论。

任何可以在尺规作图规定下完成的几何物件，其座标需为规矩数，规矩数的必要条件为一代数数，且最小多项式次数为。 假设可以用尺规作图将任意角三等分，代表对任意角度 A，均可以由尺规作图得到 ，而 也会是规矩数。

令 = , = =

根据三倍角公式：

因此


此方程式无有理数解，且其次数为 3，不满足 的形式，因此 x（= ）不是规矩数，也就代表无法用尺规作图得到 与假设矛盾，因此无法用尺规作图将任意角三等分，三等分角问题因而宣告无解。

外部链接

• HPM 通讯第6卷第6期, 3大作图题 介绍在较宽松的条件下（允许使用有刻度的直尺或配合其他曲线）用尺规作图，来求解三等分角问题。